Two Lines, Three Cases — Parallel, Coincident, or Intersecting
평행·일치·한 점에서 만남. 기울기와 절편이 모든 것을 결정합니다.
In the plane, two lines either meet, run parallel, or are the same.
생각해 봅시다 — 두 직선이 만나면 만나는 점이 있을 수밖에 없습니다. 만약 만나지 않는다면 두 직선은 영원히 평행. 그리고 만나는 점이 무한히 많다면... 두 직선이 완전히 겹친 (일치) 경우입니다.
즉 평면 위 두 직선의 운명은 단 세 가지 — 평행 / 일치 / 한 점에서 만남. 신기하게도 이를 판단하려면 두 일차함수의 기울기와 $y$절편만 비교하면 됩니다.
이 차시에서는 두 일차함수 $y = ax + b$, $y = a'x + b'$의 세 가지 위치 관계를 판별하는 법을 배웁니다. 다음 차시(2.3)에서 이 개념이 연립방정식과 어떻게 연결되는지 보게 됩니다.
Parallel, coincident, or intersecting — and how to tell which.
핵심 정리: 위치 관계 판별은 기울기를 먼저 비교합니다. 기울기가 다르면 즉시 "한 점에서 만남"이고, 같으면 $y$절편을 보고 평행/일치를 가립니다.
A quick reference for distinguishing the three cases.
| 기울기 비교 | $y$절편 비교 | 위치 관계 | 공통 해 |
|---|---|---|---|
| $a = a'$ | $b = b'$ | 일치 | 무수히 많음 |
| $a = a'$ | $b \ne b'$ | 평행 | 없음 |
| $a \ne a'$ | — | 한 점에서 만남 | 한 쌍 |
"공통 해"는 다음 차시(2.3)에서 다룰 연립방정식의 해입니다 — 두 직선의 위치 관계가 연립방정식의 해의 개수를 결정합니다.
5 quick warm-ups.
Two examples on parallel condition.
8 problems graded by difficulty.
평행하면 기울기 같음 → $3$.
기울기 같음($2$), $y$절편 다름($5 \ne -1$). ▶ 평행.
기울기 다름($-1 \ne 3$). ▶ 한 점에서 만남.
기울기 같아야 함: $a = 2$.
일치 → $y$절편도 같아야 함: $b = 5$.
기울기 $-2$, $4 = -2 + b$ → $b = 6$.
$a - 1 = 3$ → $a = 4$. ($y$절편 $5 \ne 2$ → 평행 ✓)
일치 → $a = 3, b = 1$. $a + b = 4$.
두 일차함수 $y = ax + b$와 $y = a'x + b'$의 위치 관계는 기울기와 $y$절편만 비교하면 즉시 판별됩니다. 기울기가 다르면 한 점에서 만남, 기울기가 같고 $y$절편이 같으면 일치, 기울기가 같고 $y$절편이 다르면 평행. 다음 차시에서는 두 직선이 만나는 한 점이 곧 연립방정식의 해임을 배웁니다.